Nein, von außen auf PHP-Skripte ist nicht möglich (es gibt bestimmt Tricks, das trotzdem zu erreichen), aber das ist auch nicht der Sinn einer API. Eine API liefert, abhängig von den URL-Parametern, Inhalte in einem Format aus, das von Maschinen lesbar ist, z.B. json oder xml. Das heißt ich habe bspw. eine URL /?type=images&user=123&format=json, dann liefert mir die API alle Bilder des Users mit der ID 123 im json-Format.

Google einfach nach API Tutorials, da wirst du schnell fündig, auch sehr interessant, aber für den Einstieg nicht essentiell: REST (nur damit du das mal gehört hast ).
Und wenn du bereits eine konkrete Idee hast, kannst du natürlich auch hier jederzeit fragen.

Um welche Art von Funktionen handelt es sich und wo möchtest du die einsetzen (gleicher Server oder fremder)?
Ich versteh grad leider dein Problem nicht so hunderprozentig, sorry.

Ich weiß auf Anhieb leider nicht, ob/wie man eine komplette PHP-Datei nach außen verfügbar machen kann. Du könntest jedoch eine "API" zusätzlich zur PHP-Klasse schreiben, die einfach die entsprechende Funktion aufruft. Inwieweit das für dich brauchbar ist, kann ich jetzt nicht beurteilen, aber um einen URL-Call (egal ob API oder Datei direkt) kommst du nicht drumrum.

Array to String-Conversation? Wo?

Okay, dann brauchst du eine API, die dir die News ausgibt. Und die kannst du dann von jeder beliebigen Seite aus aufrufen.
Und was meinst du jetzt mit Array-Problem?

Sorry für die späte Antwort.
Jap, genau sowas brauchst du. Die Seite liefert generell ein paar sehr gute Ideen, allerdings programmiert der Typ nicht so wirklich sauber. Da also bitte aufpassen, dass du Sicherheitsabfragen und ähnliches mitaufnimmst.
Das Problem an diesem Tutorial ist, dass er das Slim Framework verwendet, das du vermutlich nicht im Einsatz hast. Das heißt dir stehen etliche Funktionen, wie response() nicht zur Verfügung bzw. du müsstest diese selbst bauen.
Du kannst dir zum Vergleich dieses Tutorial anschauen, das funktioniert exakt so und ist Framework unabhängig.
Das Problem ist, dass die Frage "erklär mir, wie ich damit arbeiten muss" extrem schwer zu beantworten ist

Kurzzusammenfassung. Wir haben eine abstrakte Klasse, die unser Grundgerüst darstellt und alle Grundfunktionen beinhaltet, sowas wie Request annehmen und wieder ausgeben. Die Logik kommt dann in der eigentlichen API-Klasse, die die abstrakte implementiert und die Request verarbeitet, je nachdem was du benötigst.
Hier wurde dann noch eine api.php eingefügt, die nur die eigentliche API-Klasse aufruft. Und das wars. Danach kannst du über GET url.de/pfad/zur/datei/example deinen Usernamen ausgeben.

Bei einer API hast du keinen Login im klassischen Sinne. Stattdessen wird gern auf Schlüsselpaare zurückgegriffen. Das heißt der Anwender bekommt zwei Hashwerte (möglichst lang zwecks Sicherheit), die er entweder bei jedem API-Aufruf mitliefert oder im Optimalfall nur einmal angeben muss und dein Server ihn danach für die Session wiedererkennt. Du kannst z.B. die API so gestalten, dass der Nutzer zuerst seinen Schlüssel an eine authenticate-Methode schickt in der du überprüfst, ob seine Daten richtig sind, danach einen eindeutigen Hashwert erzeugst aus seinen Schlüsseln und der Uhrzeit oder Ähnlichem, das ganze als aktuellen Sessionwert abspeicherst und der Nutzer statt seinen Logindaten diesen Hash dann mitüberträgt bzw. dieser in einem Cookie gespeichert wird (dann muss er nichtmal mitübertragen werden).